sábado, agosto 27, 2005

Dos Cuestiones sobre Gravitación

1.-La ley del inverso del cuadrado

Quizá en un mundo en ocasiones irracionalmente competitivo y cortoplacista, es difícil encontrar tiempo para hacer la más rentable de las inversiones intelectuales y espirituales: volver a los fundamentos, revisarlos y disfrutarlos. Pero para mí, las demostraciones clásicas son siempre actuales. Normalmente se aprende y además es asombrosamente agradable volver a recordar la prueba de Euclides de la infinitud de los primos, o la de la irracionalidad de la raiz de dos, o el Teorema de Cantor. Estas son ideas que siempre nos enseñan algo.

La Teoría de la Gravitación Universal de Newton es una de esas piezas de conocimiento que damos por agotada y bien conocida. ¿Os acordáis?

“La atracción gravitatoria entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos”.

Para todos aquellos que no seáis economistas austriacos :-) , os lo sintetizo en esta formula, donde M y m son las dos masas, R es la distancia que las separa y G es una constante de proporcionalidad:

Eq 1



Ls formula es perfectamente análoga a la de la “Ley de Culomb” (que expresa la atracción entre dos cargas eléctricas) y basta cambiar las masas por cargas (Q y q las cargas, y K constante de proporcionalidad).

Eq 2


La primera cuestión que plantean estas ecuaciones es... ¿Por qué esa similitud? Y sobre todo, ¿porque el inverso del cuadrado de la distancia? ¿Por qué no el inverso de la distancia sin más? ¿Por qué no una potencia distinta, como el cubo o incluso mejor, R elevado a 2.174?

Algunos, acostumbrados quizá a que el poder humano este regido según la más estúpida arbitrariedad, han atribuido también esta cualidad detestable al poder divino, y aceptan que las leyes de la Física puedan ser absurdas o chapuceras.

“Dice el necio en su corazón: no hay Dios” Salmo 52

Aunque el que escribe estas líneas tiene ciertas dudas sobre las intenciones morales del Creador, sobre su sentido estético no tiene ninguna. El Universo es inmensamente hermoso, (aunque ¡ay! minuciosamente indiferente).

La forma en que Newton demostró la validez de la Ley del Inverso del cuadrado fue mediante un ejercicio de ingeniería inversa sobre las Leyes de Kepler del movimiento astronómico, y demostrada la Ley de Gravitación, Newton nos invita a “no fingir hipótesis” sobre sus causas.

Pero yo sospecho que él sabia lo que iba a encontrar. Pensemos -intentando reconstruir sus hipotéticas intuiciones- en un cuerpo astronómico que transmite una fuerza de atracción a través de una onda o de un chorro de partículas. Esa onda de gravitación se desplaza a velocidad constante y recorre una distancia R, igual en todas las direcciones. Entonces el frente de la onda forma una esfera alrededor del cuerpo emisor, y la superficie de esa esfera es:

Eq 3
Pues bien, como la intensidad de las ondas gravitatorias se diluye a lo largo de la esfera, el flujo de ondas recibido en un punto de ella es inversamente proporcional a la propia superficie de la esfera, y por tanto inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el cuerpo emisor y la partícula que sufre la influencia.

Esto nos enseña que nuestra primera intuición al ver la fórmula de Newton era equivocada: no es que la fuerza de gravedad decaiga con la distancia, sino que la misma cantidad de flujo gravitatorio se dispersa en una superficie mayor, y por eso a mayor distancia, menor flujo gravitatorio en cada punto.

Podemos hacer asombrosas, pero muy fundadas especulaciones sobre como sería un universo análogo al nuestro con más o menos dimensiones espaciales. Por ejemplo en un universo plano, la gravedad se dispersaría a lo largo de un circulo (hiper-esfera de dimensión dos) y como la longitud de un círculo es directamente proporcional al radio, la gravedad decaería con el inverso de la distancia, mientras que en un universo con cuatro dimensiones espaciales, como una hiperesfera de orden 4 tendría una hipersupeficie [(hiper-1)volumen] proporcional al cubo de su radio, podemos esperar que la gravedad decayese conforme al cubo de la distancia.

En general las hiperesferas de un espacio de dimensión n tienen una hipersuperficie proporcional a la (n-1) potencia del radio de la esfera, con lo que la Ley de la Gravedad en un espacio de n dimensiones quedaría así:

“La atracción gravitatoria entre dos cuerpos en un espacio de n dimensiones es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional a la distancia que los separa elevada a n-1”.


2.-Geometría en el espacio-tiempo

El campo eléctrico y el campo magnético tienen muchas similitudes aparentes, pero también una diferencia fundamental. Pero para apreciarla plenamente, antes vamos a recordar la tercera Ley de Newton:


Eq 4:



Donde "a" representa la aceleración que produce una fuerza de intensidad F sobre un cuerpo de masa m.

La fórmula anterior es la más gigantesca intuición de Newton: antes de la Tercera Ley, el concepto de masa estaba asociado a la intuición de peso, pero Newton le resta importancia al significado gravitatorio de la masa y la interpreta fundamentalmente como una medida de INERCIA: la masa para Newton es una medida de resistencia a la aceleración.

Ahora vamos a entender como se comporta el campo gravitatorio. Para ello supongamos una gran masa M. ¿Qué efecto produce su campo gravitatorio sobre una masa de prueba, m ,(mucho más pequeña) a una distancia R? Sustituyendo en la Tercera Ley de Newton (Eq 4) , F por su valor según la Ley de Gravitación (Eq 1):




Vamos a expresar con palabras lo que dice la ecuación: aunque la fuerza con que el campo gravitatorio generado por la masa M afecta a una partícula de prueba de masa m de forma directamente proporcional a m, la inercia de la partícula de prueba es igualmente proporcional a m , y el efecto cinemático (la aceleración producida por la fuerza) es neutral a la masa de la párticula.

La gravedad tira de un cuerpo el doble de pesado con el doble de fuerza pero a la vez le cuesta el doble moverlo. El resultado de tirar con el doble de fuerza de un cuerpo doblemente inerte es neutro, y por tanto la aceleración que sufre un cuerpo de masa m en un campo generado por un cuerpo de masa M no depende de la masa de la partícula de prueba (m). Mirad bien la formula anterior. ¡Las m se han cancelado!

En particular, una bola de 50 kilos tirada desde un campanario cae exactamente igual que una bola de 100 kilos. Y ambas tienen un comportamiento cinemático indistinguible del de una pequeña bala. (El campo gravitatorio en las proximidades de la Tierra produce una aceleración de 9.8 m/s2)

¿Pasará lo mismo en el caso del campo eléctrico? La formula es casi igual…



Pues no. Efectivamente: la m de la inercia y la q de la carga de prueba no se anulan. Es decir el efecto cinemático del campo eléctrico es variable. Una partícula con el doble de carga sufrirá el doble de aceleración y una partícula con el doble de masa sufrirá la mitad de aceleración. La acción cinemática del campo eléctrico depende de la partícula sobre la que se aplica.

Esta diferencia es enorme. Por ejemplo, existe un concepto llamado “velocidad de escape”, que consiste en la velocidad que hace falta para que un cuerpo lanzado desde la superficie de un cuerpo astronómico abandone su campo gravitatorio. Esa velocidad no depende de la masa del cuerpo en cuestión: ya hemos visto que los efectos cinemáticos del campo gravitatorio son iguales para todos los cuerpos. Es obvio que sacar un cuerpo el doble de pesado del campo gravitatorio es el doble de costoso en términos de energía, pero eso es porque imprimirle la velocidad de escape es el doble de costoso, no porque sea una velocidad de escape distinta. (Para la Tierra, la velocidad de escape es de unos 11.2 km/s).

Esta velocidad de escape no existe para el campo eléctrico. Cada partícula necesita una velocidad distinta para huir de un campo eléctrico, que depende de su carga y de su masa. Vamos a reformular la Ley de Newton eliminando el elemento de fuerzas, es decir dejándola en términos puramente cinemáticos:

“Una Masa M produce sobre cualquier cuerpo a una distancia R una aceleración hacia si misma directamente proporcional a M e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia”

En general la naturaleza directamente cinemática de la Gravitación hace que podamos interpretarla como una curvatura del espacio-tiempo: un cuerpo de masa M genera en su vecindad una distorsión incondicional del movimiento y precisamente el movimiento es algo que existe geométricamente en cuatro dimensiones, tres espaciales y el tiempo. En el caso del campo eléctrico, desde luego también hay una distorsión del movimiento, pero al ser distinta para cada cuerpo, no se puede interpretar como una distorsión intrínseca en el espacio-tiempo y no admite esta formulación geométrica.

Las consecuencias del concepto de distorsión espacio temporal solo se entienden plenamente en el marco de la Teoría General de la Relatividad, donde se aprovecha plenamente el concepto geométrico de gravedad. Pero bastan las ecuaciones newtonianas para derivar algunas conclusiones muy interesantes.

La primera se refiere a la idea de agujero negro: ¿Qué pasa si la velocidad de escape de un objeto astronómico es superior a la de la luz? Pues eso: que un rayo de luz que pase muy cerca de ese objeto entra en la orbita del cuerpo y por tanto queda capturado allí.

¿Pero como puede ser así, si la luz no pesa? Esto es lo fascinante: que la luz pese o no es irrelevante puesto que la gravedad genera una curvatura en el espacio tiempo, y eso es lo que efecta al movimiento del rayo de luz.

Como ya hemos los efectos sobre el movimiento de un cuerpo producidos por un campo gravitatorio no dependen del cuerpo. Si lanzásemos primero una bala en las proximidades del agujero negro y detrás una enorme nave espacial a la misma velocidad, el efecto sobre el movimiento de ambos cuerpos seria el mismo.

Bien pues lo mismo con un fotón (de masa casi nula): el efecto cinemático de la gravedad sobre el fotón será (casi) el mismo que sufriría una nave espacial que viajase en la misma dirección que el fotón a (casi) la velocidad de la luz. Por lo mismo que la nave seria capturada por el agujero negro, también lo seria el fotón.

Hasta aquí la mera exposición científica. Ahora voy a añadir una reflexión filosófica:


Los últimos cincuenta años en Física se han caracterizado por la búsqueda de un modelo que unifique las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza: Gravitación, Electromagntismo y las dos Fuerzas Nucleares. En mi opinión se esta siguiendo un camino equivocado.

Cuando tengamos el conjunto definitivo de las leyes de la Física, estas ecuaciones deben excluir perversiones intelectuales como la electrodinámica cuántica o el modelo estandar de partículas.

En su lugar, deben ser una formulación matemática de cómo la materia-energia evoluciona sobre el espacio tiempo. Y en ese modelo definitivo, (con el que digamos que Dios construyó el universo) la gravedad estará entre las ecuaciones que describen la forma del espacio-tiempo, mientras que las tres fuerzas restantes deben aparecer en la descripción de la materia-energía.

Los físicos han renunciado a creer que el universo esta regido por Leyes elegantes, y han sido justamente castigados con cincuenta años de esterilidad intelectual.



[1] Los efectos cinemáticos son los efectos sobre el movimiento: es decir sobre velocidades, aceleraciones… La cinemática es la rama de la mecánica que pretende describir el movimiento, mientras que la dinámica trata sobre las causas del movimiento: la inercia y las fuerzas. En Wikipedia

9 Comments:

At 3:41 a. m., Anonymous Anónimo said...

Veo que vuelves con fuerza, máquina.

Sólo aprovecho para saludarte y ya habrá otros artículos en los que opinaré porque esto de las ciencias no es lo mío. No todos somos como tú que eres un "todoterreno" intelectual. Pensaba que lo tuyo eran las ciencas sociales, la economía, la filosofía pero luego veo que sabes de matemáticas, ciencias naturales, etc, etc. Pues nada, a seguir.

Saludos y me alegro de volver a leerte!!

PFL2

 
At 8:00 p. m., Blogger Kantor said...

Bueno, no creas que soy tan todoterreno. Hay ciertos modelos, ciertas ideas que me interesan y que estan en muchos sitios.

En todo caso, en la universidad yo estudie Matematicas, asi que este es justamente mi terreno.

La economia vino despues. En el postgrado.

 
At 7:53 p. m., Blogger Isidoro Lamas Insua said...

Muy interesante Kantor. Comprendo tu comentario sobre los austríacos dado que eres matemático, pero francamente, la distinción entre la ciencia y la acción humana creo que es meridianamente clara. Que un austríaco piense como piense no excluye su respeto a las ciencias. ¿Podrá el hombre hallar una ecuación que explique su actuar? Tal vez, de momento no la hay y creo que de haberla, el día de su descubrimiento no sería un día feliz para el hombre dado que perdería éste gran parte de su encanto xD.

Salud y libre comercio

 
At 3:49 p. m., Anonymous Anónimo said...

(Soy DrQbikus, que no se por qué, Blogger no me deja registrar últimamente :P)

Muy interesante tu post. Tendría que haberlo comentado mucho antes, pero he estado bastante liado, tú ya sabes ;)

Yo suelo tener una discusión inconclusa con un amigo mío, en la que intentamos averiguar si el universo creó sus axiomas, reglas lógicas, constantes matemáticas (pi, e, ...), o si éstas crearon el universo.

A veces estoy con una idea y a veces con la otra. Para estar en desacuerdo con él, basicamente XD

Sobre lo que comentabas de los fotos y su masa nula, es curioso que algunos modelos físicos dan explicaciones complicadas y en otros son más fáciles de entender.

En este caso, la mecánica convencional dice que la luz no escapa de un agujero negro porque la partícula al acelerarse obtiene energía, que hace que tenga masa. La teoría de Einstein (también lo anterior es suyo, al fin y al cabo) dice que el espacio-tiempo se curva.

Supongo que si algún día damos con la Teoría Unificada todo tendrá sentido, y hasta entenderemos el cómo del Big Bang y si éste fue inevitable o arbitrario.

 
At 9:35 p. m., Blogger Kantor said...

Gracias: me encanta que hayais leido este post.

En cuanto a la broma sobre los economistas austriacos, bueno es una broma.

Pero por otro lado yo creo que el marginalismo economico se entiende mejor dentro de las estructuras matematicas profundas de la Teoria de Juegos.

Sin la teoria de Juegos y los modelos de equilibrio el marginalismo es muy limitado e incapaz de dar respuestas a las cuestiones economicas planteadas por el Estado y los agentes individuales.

 
At 7:11 p. m., Anonymous Alfonso Nishikawa said...

Hola!
Me ha gustado mucho tu exposición. De hecho, encontré tu página buscando algo relacionado con el campo gravitatorio y el campo eléctrico, porque pensé que con las similitudes que tenían, posíblemente se podrían enunciar los equivalentes a la Ley de Gauss pero en campo gravitatorio, las leyes de Maxwell, etc... por supuesto, me picaba la curiosidad de saber el equivalente al campo magnético en gravitatorio. Por supuesto, tras leer tu exposición me he dado cuenta de que no será posible, por la grandísima diferencia de que en el campo eléctrico hay 2 tipos de elementos: el positivo y el negativo, y en el gravitatorio todo es de atracción.
Una pena, vamos :(
En cuanto a tu última valoración no estoy de acuerdo, creo que la física sigue en evolución, pero que estamos es una etapa complicada... aunque todo se andará :)
Un saludo!

 
At 6:23 a. m., Anonymous Anónimo said...

"...Pues bien, como la intensidad de las ondas gravitatorias se diluye a lo largo de la esfera, el flujo de ondas recibido en un punto de ella es inversamente proporcional a la propia superficie de la esfera..."


Hola! aunque no soy gran experta en el tema, he leido un poco sobre esto, y al ver lo que escribiste acerca de la propagación de las ondas gravitatorias (al menos lo entendí como tal) me surge la duda: ¿Qué no se supone que la gravedad se propaga de manera instantánea e infinita?

 
At 11:34 p. m., Blogger Kantor said...

Hola y perdona por no haber respondido antes: no lo habia visto.

Los efectos de la gravitación se transmiten a la velocidad de la luz. Nigun efecto fisico puede superar esa velocidad. En particular si la gravedad viajase a una velocidad instantanea las perturbaciones gravitatorias podrian enviar informacion a una velocidad infinita.

Por ejemplo (supuesta velocidad instantanea de la gravedad) si el Sol explotase, la luz tardaria ocho minutos en llegar, pero los efectos gravitatorios de la explosion los sentiriamos inmediatamente => transmision instantanea de información (!)=>viola el principio de relatividad.

 
At 1:41 p. m., Anonymous Anónimo said...

Simple y vacío, es lo que tienen estos tiempos, y el internete.

 

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